这类问题属于排列组合中的“分配”问题，通常以“传球”、“发信”、“分糖果”等形式出现，它的核心特点是：物品（或人）是不同的，但容器（或位置）是相同的，并且每个容器至少有一个物品。

下面我将从题型特征、核心解法、例题精讲、实战技巧四个方面为你彻底讲透“传球问题”。

题型特征识别

要快速识别出传球问题,请看以下几个关键词：

1. 主体是不同的：A、B、C、D四个球员，或者四封不同的信，他们是有区别的。
2. 目标是分配：把球传给这四个人，或者把信投进四个邮筒，这是分配行为。
3. 容器是相同的：邮筒（我们不关心是哪个邮筒，只关心每个邮筒里有几封信），或者篮筐（我们不关心是哪个篮筐，只关心每个篮筐里进了几个球），容器之间没有区别。
4. 每个容器至少一个：这是最关键的一点！题目通常会明确或隐含地要求“每个篮筐至少进一球”、“每个邮筒至少有一封信”等。

一句话总结：将n个不同的物品，分成m组（m ≤ n），每组至少一个，问有多少种分法。

核心解法（隔板法）

这类问题的标准解法是“隔板法”。

基本模型：将 n 个不同的物品，分成 m 组（每组至少一个）,有多少种分法？

解题步骤：

1. 先排序：将 n 个不同的物品排成一列，因为有 n 个不同的物品，所以排列方式有 n! 种。
2. 再插板：为了将它们分成 m 组，我们需要在 n-1 个“间隙”中插入 m-1 个“隔板”。
   • 为什么是 n-1 个间隙？ 想象一下 n 个苹果排成一排，它们之间有 n-1 个空隙。○ | ○ ○ | ○ (这里有4个苹果，3个空隙)。
   • 为什么是 m-1 个隔板？ 要分成 m 组，只需要插入 m-1 个隔板即可，1个隔板分成2组,2个隔板分成3组。
3. 组合数计算：从 n-1 个间隙中，选择 m-1 个位置来插板，这是一个组合问题，方法数为 C(n-1, m-1)。
4. 相乘：因为排序和插板是两个独立的步骤，所以总的方法数是 n! × C(n-1, m-1)。

例题精讲

我们来看几个典型的国考真题风格题目。

例题1：经典传球问题

有4名球员（甲、乙、丙、丁）参加篮球训练，教练要求将10个不同的篮球分给他们，每人至少分得1个,问有多少种不同的分法？

解析：

1. 识别题型：

   • 物品：10个不同的篮球（不同）。
   • 目标：分给4名球员（相当于4个相同的组，因为我们不关心“甲得3个，乙得2个”和“乙得3个，甲得2个”是不同情况，只关心“一组3个，一组2个”）。
   • 条件：每人至少1个（每组至少一个）。
   • 完全符合传球问题模型。

2. 应用隔板法：

   • 这里的 n 是篮球的数量，n = 10。
   • 这里的 m 是球员的数量（要分成的组数），m = 4。
   • 根据公式，方法数 = n! × C(n-1, m-1) = 10! × C(10-1, 4-1) = 10! × C(9, 3)。

3. 计算结果：

   • C(9, 3) = 9! / (3! × (9-3)!) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84。
   • 所以总方法数 = 10! × 84。

答案：共有 10! × C(9, 3) 种不同的分法。

例题2：变式题型（发信问题）

有4封不同的信，要投入3个邮筒，每个邮筒至少投入1封信,问有多少种不同的投法？

解析：

1. 识别题型：

   • 物品：4封不同的信（不同）。
   • 目标：投入3个邮筒（相当于3个相同的组，因为邮筒没有区别，我们只关心“一个邮筒有2封，另两个邮筒各有1封”这种分布）。
   • 条件：每个邮筒至少1封（每组至少一个）。
   • 这也是传球问题的变体。

2. 应用隔板法：

   • 这里的 n 是信的数量，n = 4。
   • 这里的 m 是邮筒的数量（要分成的组数），m = 3。
   • 根据公式，方法数 = n! × C(n-1, m-1) = 4! × C(4-1, 3-1) = 4! × C(3, 2)。

3. 计算结果：

   • C(3, 2) = C(3, 1) = 3。
   • 4! = 24。
   • 所以总方法数 = 24 × 3 = 72。

答案：共有72种不同的投法。

实战技巧与易错点

1. 分清“不同”与“相同”：

   • 球员/信是不同的：必须先进行全排列 n!。
   • 邮筒/篮筐是相同的：所以用组合数 C(n-1, m-1) 来选位置，而不是排列数，如果邮筒是编号的（1号邮筒、2号邮筒），那问题就完全变了，属于“将不同的物品放入不同的容器”，解法会完全不同（通常是“容斥原理”）。

2. “至少一个”是关键：

   隔板法直接适用的前提就是“每组至少一个”，如果题目条件是“可以有空”，则需要用其他方法（如“先保证每组一个，再自由分配”或“容斥原理”）。

3. 计算要细心：

   • 组合数 C(n-1, m-1) 的计算是重点，也是容易出错的地方，分子是从 n-1 开始的连续 m-1 个数相乘，分母是 (m-1)!。C(9, 3) = (9×8×7)/(3×2×1)，而不是 (9×8×7×6)/(4×3×2×1)。

4. 快速验证：

   • 对于简单数字，可以快速验证，比如例题2：4封信，3个邮筒,每个至少1封。
   • 分配方式只能是 2, 1, 1（因为 2+1+1=4）。
   • 第一步：从4封信中选出2封作为一组，有 C(4, 2) = 6 种选法。
   • 第二步：剩下的2封信各自成一组。
   • 因为邮筒是相同的，(A,B) 一组，(C) 一组，(D) 一组，与 (C,D) 一组，(A) 一组，(B) 一组，是同一种分法,我们不需要对剩下的进行排列。
   • 所以总数就是 C(4, 2) = 6 种分组方式。
   • 但因为我们有 4! 种排列方式（信是不同的），所以总数 = 4! × 6？不对,这里就暴露了错误。
   • 正确的逻辑：先排序 4!，再插板 C(3, 2)，或者换一种思路：从4封信中选2封给一个邮筒，剩下的两个信分别给另外两个邮筒，选法是 C(4, 2) = 6，因为邮筒是相同的，所以这6种就是最终的分组方式。哦，这里我的快速验证逻辑又混乱了。
   • 让我们重新用分组思想验证：
     • 分配模式是 2, 1, 1。
     • 从4个不同的信中，选出2个作为一个集合，剩下2个各自为一个集合，这个选法是 C(4, 2) = 6。
     • 这6种就是所有可能的“分组”结果。{AB, C, D}, {AC, B, D}, {AD, B, C}, {BC, A, D}, {BD, A, C}, {CD, A, B}。
     • 因为邮筒是相同的，所以这6种分组就是最终答案。这与 4! × C(3, 2) = 72 的结果矛盾。

发现重大误区！

经过上面的验证，我发现我之前的“核心解法”描述存在严重问题！这是一个非常非常常见的错误。

正确的逻辑应该是：

隔板法 C(n-1, m-1) 解决的是 “将 n 个 相同的 物品分成 m 组，每组至少一个” 的问题。 把10个相同的糖果分给4个孩子，每人至少一个，方法是 C(9, 3)。

而“传球问题”中，球是不同的,所以正确的解法应该是：

1. 先分组：将 n 个不同的物品分成 m 组（每组至少一个），这本身就是一个非常复杂的“斯特林数”问题,通常我们不直接计算它。
2. 再分配：分好组后，将这 m 组分配给 m 个不同的容器（如果容器是相同的，这一步就不需要了）。

重新梳理“传球问题”的解法：

当容器（篮筐/邮筒）是相同的时： 问题等同于：将 n 个不同的元素划分为 m 个非空子集。 这个数量叫做第二类斯特林数，记作 S(n, m)。 因为容器是相同的，所以不需要再排列，总数就是 S(n, m)。

当容器（篮筐/邮筒）是不同的时（比如分给4个不同的球员）： 问题等同于：将 n 个不同的元素划分为 m 个非空子集，然后将这 m 个子集分配给 m 个不同的容器。 这个数量是 m! × S(n, m)，这个公式也叫做“容斥原理”的结果，即 m^n - C(m,1)(m-1)^n + C(m,2)(m-2)^n - ...。

回到例题1和例题2，我们用正确的逻辑来解：

例题1（修正）： 4名不同的球员，10个不同的篮球，每人至少一个。 这相当于将10个不同的球分配给4个不同的人，每人至少一个。 这是一个典型的“容斥原理”问题。 总方法数 = 总分配方式 - 有人没得到球的方式 + 两个人没得到球的方式 - ... = 4^10 - C(4,1)×3^10 + C(4,2)×2^10 - C(4,3)×1^10 = 4^10 - 4×3^10 + 6×2^10 - 4×1^10

例题2（修正）： 4封不同的信，3个相同的邮筒，每个邮筒至少1封。 这等同于将4个不同的元素划分成3个非空子集。 分配模式只能是 2, 1, 1。 从4封信中选出2封作为一组，剩下2封信各自为一组。 方法数 = C(4, 2) = 6。 因为邮筒是相同的，{AB}, {C}, {D} 和 {C}, {AB}, {D} 是同一种情况。 所以总数就是 C(4, 2) = 6 种。

我最初给出的“n! × C(n-1, m-1)”是错误的，它混淆了“相同”与“不同”的根本概念,非常抱歉提供了错误信息。

国考中“传球问题”的正确打开方式：

1. 第一步：看清容器是否相同。

   • 如果是分给不同的人（如甲、乙、丙），容器是不同的。
   • 如果是投入无编号的邮筒/篮筐，容器是相同的。

2. 第二步：根据容器类型选择解法。

   • 情况A：容器是不同的（如分给不同的人）

     • 模型：将n个不同的物品，放入m个不同的容器,每个容器至少一个。
     • 解法：使用容斥原理。
     • 公式：总方法数 = m^n - C(m,1)(m-1)^n + C(m,2)(m-2)^n - ... + (-1)^(m-1)×C(m, m-1)×1^n
     • 口诀：总方减单空，加双空，减三空...

   • 情况B：容器是相同的（如投入无编号的邮筒）

     • 模型：将n个不同的物品，分成m组,每组至少一个。
     • 解法：分析所有可能的整数分拆（即 n 分成 m 个正整数的和），然后对每种分拆模式计算方法数,最后相加。
     • 步骤：
       1. 列出所有可能的分组模式。n=5, m=2，模式是 4+1 和 3+2。
       2. 对每种模式 k1, k2, ..., km (k1+k2+...+km=n)，计算方法数：n! / (k1! × k2! × ... × km!),这个公式是多重组合数。
       3. 如果模式中有重复的数字（如 2, 2, 1），需要除以重复数字的阶乘（即 3! / (2! × 1!)）。
       4. 将所有模式的方法数相加。
     • 举例：例题2，n=4, m=3。
       • 模式只有 2, 1, 1。
       • 方法数 = 4! / (2! × 1! × 1!) = 24 / 2 = 12。
       • 因为模式 2,1,1 中有两个 1 是重复的，所以最终方法数 = 12 / 2! = 6,这与我们之前的分析一致。

总结一下国考“传球问题”的终极攻略：

希望这次详尽且经过修正的解析能帮助你真正理解并掌握国考中的“传球问题”！关键在于第一步的判断：看清容器是“相同”还是“不同”。