这道题是一道经典的排列组合问题,也是国考中常见的一种题型。
题目回顾
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这九个数去任意分成三组，要求每组都有三个数，且各组数字之和相等,问共有多少种不同的分法？
题目解析
第一步：理解题意与解题思路
- 目标：将数字1到9分成三组，每组三个数,且每组的和都相等。
- 核心：我们需要确定每组的和是多少,根据这个和来寻找所有可能的组合。
- 关键点：题目问的是“分法”，即“分组”的方式，而不是“排列”的方式，这意味着，组与组之间是无序的。(A组, B组, C组) 和 (B组, A组, C组) 被视为同一种分法，这一点是解题的关键,也是最容易出错的地方。
第二步：计算每组的和
- 总和：数字1到9的总和是 1+2+3+4+5+6+7+8+9。
- 计算方法：可以使用等差数列求和公式 (首项+末项) * 项数 / 2。
- 总和 = (1 + 9) 9 / 2 = 10 9 / 2 = 45。
- 每组和：因为要分成三组，且每组和相等，所以每组的和为 总和 / 3。
每组和 = 45 / 3 = 15。
问题转化为：将1到9这九个数分成三个无序的三元组，每个三元组的和都等于15。
第三步：寻找所有和为15的三元组
现在我们需要找出所有由1-9中不同数字组成、和为15的三元组（不考虑顺序），我们可以采用“固定一个数，然后找另外两个数”的枚举法。
-
包含1的组：
- 1 + 5 + 9 = 15 --> {1, 5, 9}
- 1 + 6 + 8 = 15 --> {1, 6, 8}
- （1+7+7=15，但数字不能重复,所以排除）
-
包含2的组：
- 2 + 4 + 9 = 15 --> {2, 4, 9}
- 2 + 5 + 8 = 15 --> {2, 5, 8}
- 2 + 6 + 7 = 15 --> {2, 6, 7}
- （2+3+10=15，10不在范围内,排除）
-
包含3的组：
- 3 + 4 + 8 = 15 --> {3, 4, 8}
- 3 + 5 + 7 = 15 --> {3, 5, 7}
- （3+6+6=15，数字重复,排除）
-
包含4的组：
- 4 + 5 + 6 = 15 --> {4, 5, 6}
- （如果继续，比如4+3+8，这与之前包含3的组{3,4,8}是重复的,因为组内顺序不重要）
综上，所有可能的三元组（即所有“魔线”）共有8个：
- {1, 5, 9}
- {1, 6, 8}
- {2, 4, 9}
- {2, 5, 8}
- {2, 6, 7}
- {3, 4, 8}
- {3, 5, 7}
- {4, 5, 6}
第四步：进行分组并考虑顺序
我们需要从这8个三元组中，选出3个，它们彼此之间没有共同的数字，且恰好用完1-9这九个数字，这实际上就是在寻找一个“3x3幻方”的行、列或对角线。
我们可以采用“固定一个组，然后找另外两个不冲突的组”的方法。
第一组选择包含1的组
-
子情况1.1：第一组是 {1, 5, 9}
- 已用数字：1, 5, 9
- 剩余数字：2, 3, 4, 6, 7, 8
- 在剩余的7个三元组中，寻找由 {2, 3, 4, 6, 7, 8} 组成的和为15的组。
- 我们找到 {2, 6, 7} 和 {3, 4, 8},这两组恰好用完了所有剩余的数字。
- 这样我们就得到一种完整的分法：{1, 5, 9}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}
- 因为组是无序的，所以无论我们怎么排列这三个组,都只算一种分法。
-
子情况1.2：第一组是 {1, 6, 8}
- 已用数字：1, 6, 8
- 剩余数字：2, 3, 4, 5, 7, 9
- 在剩余的7个三元组中，寻找由 {2, 3, 4, 5, 7, 9} 组成的和为15的组。
- 我们找到 {2, 4, 9} 和 {3, 5, 7},这两组也恰好用完了所有剩余的数字。
- 这样我们就得到第二种完整的分法：{1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {3, 5, 7}
至此，我们已经找到了两种不同的分法,我们继续验证是否还有其他可能。
第一组选择不包含1的组
我们尝试选择一个不包含1的组作为起点,看看是否能得到新的分法。
- 尝试第一组为 {2, 4, 9}
- 已用数字：2, 4, 9
- 剩余数字：1, 3, 5, 6, 7, 8
- 在剩余的7个三元组中，寻找由 {1, 3, 5, 6, 7, 8} 组成的和为15的组。
- 我们找到 {1, 6, 8} 和 {3, 5, 7},这两组也恰好用完了所有剩余的数字。
- 这样我们得到的分法是：{2, 4, 9}, {1, 6, 8}, {3, 5, 7}
第五步：去重
我们比较一下找到的几种“分法”：
- {1, 5, 9}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}
- {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {3, 5, 7}
- {2, 4, 9}, {1, 6, 8}, {3, 5, 7}
我们发现，分法2和分法3是完全相同的，只是组的排列顺序不同，根据题意（“分法”是组与组无序的），它们只能算作一种分法。
到目前为止，我们只找到了两种不同的分法，我们可以继续尝试其他组合，但会发现所有能组合成功的分法,本质上都只是这两种基本分法的重新排列。
如果从 {3, 5, 7} 开始，我们会得到 {1, 6, 8} 和 {2, 4, 9} 的组合,这还是我们找到的第二种分法。
第六步：验证总数
为了确保我们没有遗漏，我们可以换一种思路，一个标准的3x3幻方有8条“魔线”（3行+3列+2对角线），我们要从中选出3条，要求它们没有共同的数字,且覆盖所有9个数字。
这相当于在幻方的结构中，寻找三条互不相交的“魔线”。
- 第一种分法：对应幻方中的 一行、一列、一条对角线，第一行、第二列、主对角线。
4 9 23 5 7<-- {3, 5, 7}8 1 6<-- {8, 1, 6} 也就是 {1, 6, 8}- 这与我们找到的第二种分法 {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {3, 5, 7} 对应。
- 第二种分法：对应幻方中的 三条平行线，三条行，或者三条列。
2 7 6<-- {2, 6, 7}9 5 1<-- {1, 5, 9}4 3 8<-- {3, 4, 8}- 这与我们找到的第一种分法 {1, 5, 9}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8} 对应。
通过这种几何化的思考，我们可以更清晰地看到，所有满足条件的分组方式，都只会构成这两种基本的结构，不同的“分法”总数就是2。
最终答案
这道题的正确答案是 B（2种）。
- 计算总和,确定每组和为15。
- 穷举所有和为15的三元组,共8个。
- 通过组合这些三元组，寻找能覆盖1-9所有数字的三个不相交的组。
- 在组合过程中，注意“分法”是组与组无序的,需要避免重复计数。
- 最终确定,只有两种本质上不同的分组方式。
