国考的行测科目中，数学运算部分通常会包含数列问题，这类题目考察的是数字敏感度、逻辑推理能力和快速计算能力，虽然近年来题量有所减少，但其作为经典题型,依然是备考的重点。

核心思想：寻找规律

解决数列问题的核心思想是“观察、假设、验证”，即观察数列的整体趋势（递增、递减、波动），然后根据常见的数字规律（如等差、等比、幂次、分数等）提出假设,最后用数列中的其他项来验证这个假设是否成立。

常见数列规律类型

国考中的数列问题主要分为以下几大类，其中多级数列和递推数列是最高频的考点。

基础数列

这是最简单的数列,是构成其他复杂数列的基础。

• 等差数列：后项与前项的差为常数。

  示例：3, 5, 7, 9, 11, ... (公差为2)

• 等比数列：后项与前项的比值为常数。

  示例：3, 6, 12, 24, 48, ... (公比为2)

• 质数数列：由质数（只能被1和它本身整除的数）组成。

  示例：2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

• 合数数列：由合数（非质数且非1的自然数）组成。

  示例：4, 6, 8, 9, 10, 12, ...

• 周期数列：数列以固定的周期循环。

  示例：1, 2, 1, 2, 1, 2, ...

• 简单递推数列：前两项之和/差/积/商等于第三项。
  • 和数列：1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (斐波那契数列)
  • 差数列：5, 3, 2, -1, -3, ...
  • 积数列：1, 2, 2, 4, 8, 32, ...
  • 商数列：16, 8, 2, 4, 0.5, ...

多级数列

这是国考的绝对核心和重点，当基础数列规律不明显时，通常需要做“差”或“商”来寻找新的规律。

• 二级等差数列：对原数列做一次差后,得到一个新的等差数列。

  • 解题关键：对原数列进行“逐项作差”。
  • 示例：2, 5, 11, 20, 32, (?)
    • 作差：5-2=3, 11-5=6, 20-11=9, 32-20=12
    • 得到新数列：3, 6, 9, 12, ... 这是一个公差为3的等差数列。
    • 下一个差值是 12 + 3 = 15。
    • 原数列的下一项是 32 + 15 = 47。

• 二级等比数列：对原数列做一次差后,得到一个新的等比数列。

  • 解题关键：对原数列进行“逐项作差”。
  • 示例：2, 3, 7, 16, 65, (?)
    • 作差：3-2=1, 7-3=4, 16-7=9, 65-16=49
    • 得到新数列：1, 4, 9, 49, ... 看起来像平方数，但 9 到 49 不是平方关系。重新审视：1, 4, 9, 49，规律可能是 前一项的平方：1²=1, 2²=4, 3²=9, 7²=49，下一项应该是 16²=256。
    • 原数列的下一项是 65 + 256 = 321。 (这是一个更复杂的二级等比变式)

• 三级数列：对原数列做一次差后，新数列的规律仍不明显，需要对新数列再做一次差，得到一个有规律的数列（通常是等差或等比）。

  • 解题关键：对原数列进行“两次逐项作差”。
  • 示例：1, 10, 31, 70, 133, (?)
    • 第一次作差：10-1=9, 31-10=21, 70-31=39, 133-70=63
    • 得到新数列：9, 21, 39, 63,此数列规律不明显。
    • 第二次作差：21-9=12, 39-21=18, 63-39=24
    • 得到二级差数列：12, 18, 24,这是一个公差为6的等差数列。
    • 下一个二级差是 24 + 6 = 30。
    • 回代，一级差数列的下一项是 63 + 30 = 93。
    • 原数列的下一项是 133 + 93 = 226。

• 商数列：与作差类似，当数列递增速度非常快时，考虑“逐项作商”。

  • 示例：2, 6, 24, 120, 720, (?)
    • 作商：6/2=3, 24/6=4, 120/24=5, 720/120=6
    • 得到新数列：3, 4, 5, 6, ... 这是一个连续的自然数。
    • 下一个商是 7。
    • 原数列的下一项是 720 * 7 = 5040。

递推数列

这类数列的规律隐藏在项与项之间的运算关系中，需要“猜”规律。

• 和差积商递推：如 Aₙ = Aₙ₋₂ + Aₙ₋₁ (斐波那契) 或 Aₙ = Aₙ₋₁ * 2 + 1 等。
  • 解题关键：观察相邻三项之间的关系,尝试加减乘除及其组合。
  • 示例：2, 3, 7, 16, 65, 321, (?)
    • 规律不明显，尝试递推，观察 7 和 16：7 2 + 2 = 16? (不成立)，7 3 - 5 = 16? (不成立)。
    • 观察 2, 3, 7：2 * 3 + 1 = 7,这个关系成立。
    • 验证 3, 7, 16：3 7 - 5 = 16? (不成立)，`3 5 + 1 = 16`? (系数变化了)。
    • 重新观察：7 = 2 * 3 + 1。16 = 3 * 7 - 5。65 = 7 * 16 - 7。321 = 16 * 65 - 79，这个规律太复杂,通常不是国考思路。
    • 换一个思路：7 = 2² + 3。16 = 3² + 7。65 = 7² + 16。321 = 16² + 65，规律找到了！Aₙ = Aₙ₋₂² + Aₙ₋₁。
    • 下一项是 65² + 321 = 4225 + 321 = 4546。

幂次数列

数列的项与平方数、立方数等幂次数密切相关。

• 基础幂次数列：数列本身就是平方数、立方数的序列。
  • 平方数：1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
  • 立方数：1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
• 修正幂次数列：幂次数列加上或减去一个常数。
  • 示例：2, 3, 10, 15, 26, 35, (?)
    • 规律不明显,尝试与幂次关联。
    • 2 = 1² + 1
    • 3 = 2² - 1
    • 10 = 3² + 1
    • 15 = 4² - 1
    • 26 = 5² + 1
    • 35 = 6² - 1
    • 规律是：Aₙ = n² + (-1)ⁿ。
    • 下一项 n=7，7² + 1 = 49 + 1 = 50。

分数数列

分数数列的规律通常不在分子或分母本身，而在分子、分母各自的规律,或者分子与分母之间的运算关系。

• 分子分母分别找规律：将分子和分母拆开，分别看其是否构成等差、等比或其他数列。

  • 示例：1/2, 2/5, 3/10, 5/17, 8/26, (?)
    • 分子：1, 2, 3, 5, 8，这是一个和数列（斐波那契），下一项是 5+8=13。
    • 分母：2, 5, 10, 17, 26，这是一个二级等差数列（作差得3,5,7,9），下一项是 26+11=37。
    • 下一项是 13/37。

• 通分/约分：通过通分或约分，使分数形式变得统一,从而发现规律。

  • 示例：3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, (?)
    • 分数形式不统一,尝试通分或寻找共同点。
    • 分子：3, 2, 5, 3, 7,无明显规律。
    • 分母：4, 3, 8, 5, 12,无明显规律。
    • 观察分母与分子的关系：分母 = 分子 + 1,不成立。
    • 重新观察：3/4, 2/3=4/6, 5/8, 3/5=6/10, 7/12。
    • 分子：3, 4, 5, 6, 7，规律明显！是连续的自然数。
    • 分母：4, 6, 8, 10, 12，规律明显！是公差为2的等差数列。
    • 下一项分子是8，分母是14，即 8/14 = 4/7。

图形数列（较少见）

数字会分布在特定图形（如三角形、圆形、九宫格）的不同位置，需要根据位置关系（如行、列、对角线）或对称性来寻找规律。

解题策略与技巧

1. 先整体，后局部：先看数列的整体趋势（是缓慢递增还是急剧递增），这能帮你初步判断是做差、做商还是看幂次。

   • 缓慢线性递增 → 多级作差
   • 急剧递增/递减 → 做商 或 幂次
   • 波动变化 → 递推 或 分数

2. “三步走”原则：

   • 第一步：先看整体趋势,尝试做差。
   • 第二步：如果做差无果,尝试做商或看幂次。
   • 第三步：如果以上都无效,尝试递推关系或分数拆分。

3. 敏感度培养：

   • 数字敏感：对常见数字的多种形式要敏感，看到 26, 63, 215 要立刻联想到 3³-1, 4³-1, 6³-1，看到 67, 127, 409 要联想到 4³+3, 5³+2, 7³+4。
   • 运算敏感：对 ±1, ±2 的变化要敏感,这往往是修正项。

4. 代入排除：如果实在找不到规律，或者计算量太大，可以尝试用选项代入验证,看哪个选项能使数列规律成立。

真题演练（模拟）

例题1（多级数列）： 1, 6, 20, 56, 144, (?)

解析：

1. 趋势：数列递增速度较快，但不是特别快,优先考虑作差。
2. 作差：6-1=5, 20-6=14, 56-20=36, 144-56=88。

   得到新数列：5, 14, 36, 88,此数列仍无明显规律。

3. 二次作差：14-5=9, 36-14=22, 88-36=52。

   得到二级差数列：9, 22, 52,仍无明显规律。

4. 重新审视：可能不是简单的多级数列，尝试递推。
   • 观察 20, 56, 144。20 * 3 - 4 = 56。56 * 3 - 24 = 144，减数 4, 24，是 6 倍关系,有点复杂。
   • 换思路：观察 1, 6, 20。1 * 2 + 4 = 6。6 * 3 + 2 = 20。20 * 4 - 4 = 56。56 * 5 + 24 = 144,这个规律太复杂。
5. 幂次修正：尝试与幂次关联。
   • 1 = 1³
   • 6 = 2³ - 2
   • 20 = 3³ - 7
   • 56 = 4³ - 8
   • 144 = 5³ + 19
   • 修正项无规律。
6. 重新回到作差：5, 14, 36, 88，观察这个数列，14 ≈ 5 3 - 1, 36 ≈ 14 2 + 8，关系不明显。
   • 发现新规律：5 * 3 - 1 = 14，14 * 2 + 8 = 36，36 * 2 + 16 = 88,这个规律也不太行。
   • 最终解法（常见递推）：Aₙ = Aₙ₋₁ * 2 + Aₙ₋₂。
     • 6 = 1 * 2 + 4 (不成立)
     • 20 = 6 * 2 + 8 (不成立)
     • 正确递推：Aₙ = Aₙ₋₁ * 3 - Aₙ₋₂。
       • 6 = 1 * 3 + 3 (不成立)
     • 正确规律：Aₙ = 2 * Aₙ₋₁ + 2 * Aₙ₋₂。
       • 20 = 2*6 + 2*1 = 12 + 2 = 14 (不成立)
7. 最可能的规律（真题常见）：Aₙ = 2 * Aₙ₋₁ + 2ⁿ⁻¹
   • 6 = 2 * 1 + 2¹ = 2 + 2 = 4 (不成立)
8. 最终答案（一种可能）：经过多种尝试，最有可能的规律是 Aₙ = 3 * Aₙ₋₁ - Aₙ₋₂。
   • 20 = 3*6 - 1 = 18 - 1 = 17 (不成立)
   • 看来这道题很难，我们换一道经典的。

例题2（经典多级数列）： 2, 3, 7, 16, 65, 321, (?)

解析：

1. 趋势：数列从第3项开始急剧增大,考虑做商或递推。
2. 作商：3/2=1.5, 7/3≈2.3, 16/7≈2.3, 65/16≈4.1, 321/65≈4.9，商不是整数，且无规律,排除。
3. 递推：观察 7, 16, 65。
   • 7 * 2 + 2 = 16,这个关系成立。
   • 16 * 4 + 1 = 65，系数和常数都变了,这个规律不稳固。
   • 寻找新规律：7 = 2² + 3。16 = 3² + 7。65 = 7² + 16。321 = 16² + 65。
   • 规律找到了！Aₙ = Aₙ₋₂² + Aₙ₋₁。
4. 验证：A₅ = A₃² + A₄ = 7² + 16 = 49 + 16 = 65,成立。
5. 计算：A₆ = A₄² + A₅ = 16² + 65 = 256 + 65 = 321,成立。
6. 求解：A₇ = A₅² + A₆ = 65² + 321 = 4225 + 321 = 4546。
7. 答案：4546。

国考数列问题没有绝对的捷径，关键在于大量的练习来培养数字敏感度和快速识别规律的能力，备考时，应将多级数列和递推数列作为重中之重，熟练掌握“作差”、“作商”这两种基本操作，并尝试从不同角度（幂次、分数、递推）去分析数列,祝您备考顺利！